Имелось 2016 чисел ни одно из которых не равно нулю. Для каждой пары чисел записали их произведение. Докажите, что среди выписанных произведений не менее трети положительные.

Пусть имеется n чисел. В нашем случае n=2016. Пусть среди них имеется k отрицательных и, соответственно, n-k положительных. Количество отрицательных произведений равно k(n-k)  т.к. каждое такое произведение получилось от умножения отрицательного на положительное. Всего было C_n^2=n(n-1)/2 произведений.  Значит, надо доказать, что k(n-k)/(n(n-1)/2)?2/3 для любого k=0,...,n. Т.к. парабола k(n-k) достигает максимума при k=n/2, то для n?4  получим
k(n-k)/(n(n-1)/2)?2(n/2)?/(n(n-1))=n/(2(n-1))?4/(2·3)=2/3. Что и требовалось.

Оцени ответ
Не нашёл ответ?

Если тебя не устраивает ответ или его нет, то попробуй воспользоваться поиском на сайте и найти похожие ответы по предмету Математика.

Найти другие ответы

Загрузить картинку
© Задачки.net